Математический анализ Примеры

$f (x) = (2 x^{4} - 3) (x^{2} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x^{4} - 3$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(2 x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(2 x^{4} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x^{4} - 3) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(2 x^{4} - 3) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $2 x^{4} - 3$ .

$2 \cdot (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.8

Умножим $4$ на $2$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.9

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (8 x^{3} + 0)$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $8 x^{3}$ и $0$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (8 x^{3})$

Этап 2.10.2

Перенесем $8$ влево от $x^{2} + 1$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + 8 \cdot (x^{2} + 1) x^{3}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (2 x^{4}) + 2 \cdot - 3) x + 8 (x^{2} + 1) x^{3}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{4}) x + 2 \cdot - 3 x + 8 (x^{2} + 1) x^{3}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{4}) x + 2 \cdot - 3 x + (8 x^{2} + 8 \cdot 1) x^{3}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{4}) x + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.4

Добавим $1$ и $4$ .

$4 x^{5} + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{3 + 2} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.6.3

Добавим $3$ и $2$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{5} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.7

Умножим $8$ на $1$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{5} + 8 x^{3}$

Этап 3.5.8

Добавим $4 x^{5}$ и $8 x^{5}$ .

$12 x^{5} - 6 x + 8 x^{3}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$12 x^{5} + 8 x^{3} - 6 x$