Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}]$

Этап 2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}]$

Этап 3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2}]$

Этап 4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}]$

Этап 5

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 7

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)$

Этап 8.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$