Математический анализ Примеры

$g (t) = - (\frac{(t^{2} - 2)}{t - 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = - 1$ и $g (t) = \frac{t^{2} - 2}{t - 1}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} - 2}{t - 1}] + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2} - 2$ и $g (t) = t - 1$ .

$- \frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 2] - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $t^{2} - 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$- \frac{(t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{(t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{(t - 1) (2 t + 0) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$- \frac{(t - 1) (2 t) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.4.2

Перенесем $2$ влево от $t - 1$ .

$- \frac{2 \cdot (t - 1) t - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \cdot 0$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $\frac{t^{2} - 2}{t - 1}$ на $0$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}} + 0$

Этап 3.10.2

Добавим $- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$ и $0$ .

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 t + 2 \cdot - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 1 t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 1 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$- \frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 1 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- \frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 1 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2} + 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Вычтем $t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$- \frac{t^{2} - 2 t + 2}{{(t - 1)}^{2}}$