Математический анализ Примеры

По правилу суммы производная ${\displaystyle x^3-\frac{1}{3x^5}+2\sqrt{x}-\frac{3}{x}+\frac{1-2x}{x^3}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^3\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{1}{3x^5}]+\frac{d}{dx}\left[2\sqrt{x}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{3}{x}]+\frac{d}{dx}\left[\frac{1-2x}{x^3}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{1}{3x^5}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^5}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^5}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^5\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^5}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=5}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^5\right)}^{-2}}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-10}}$ на ${\displaystyle x^4}$, сложив экспоненты.

Умножим ${\displaystyle -5}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-6}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-6}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Поскольку ${\displaystyle 2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Сократим общий множитель.

Перепишем это выражение.

Поскольку ${\displaystyle -3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{3}{x}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{-1}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=-1}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -3}$.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=1-2x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1-2x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1\right]+\frac{d}{dx}[-2x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -2x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -2\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle 1}$.

Вычтем ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle 0}$.

Перенесем ${\displaystyle -2}$ влево от ${\displaystyle x^3}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle -1}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^2}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle x^2}$ из ${\displaystyle -2x^3-3(1-2x)x^2}$.

Сократим общие множители.

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Применим свойство дистрибутивности.

Объединим термины.