Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{8 x - 8}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 8 x - 8$ .

$\frac{(8 x - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(8 x - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $8 x - 8$ на $1$ .

$\frac{8 x - 8 - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $8 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{8 x - 8 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 + 0)}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{8 x - 8 - x \cdot 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{8 x - 8 - 8 x}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Вычтем $8 x$ из $8 x$ .

$\frac{0 - 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{- 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 2.8.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$- \frac{8}{{(8 (x) - 8)}^{2}}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$- \frac{8}{{(8 (x) + 8 (- 1))}^{2}}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$- \frac{8}{{(8 (x - 1))}^{2}}$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $8 (x - 1)$ .

$- \frac{8}{8^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- \frac{8}{64 {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $8$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- \frac{8 (1)}{64 {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $64 {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (1)}{8 (8 {(x - 1)}^{2})}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{8 \cdot 1}{8 (8 {(x - 1)}^{2})}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}}$