Математический анализ Примеры

$\frac{(x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1

Вычтем $3 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 2

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$d \int \frac{- 2 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$d \int \frac{- 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int \frac{- 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 6

Добавим $2$ и $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 11

Разделим $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ на $x^{2} - 4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Этап 11.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$

Этап 11.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Этап 11.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Этап 11.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

Этап 11.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Этап 11.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Этап 11.8

Умножим новое частное на делитель.

					-	$2 x$	-	$6$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$
					+	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$6 x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
							-	$6 x^{2}$	+	$24 x$	-	$24$

Этап 11.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 24 x - 24$ .

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

Этап 11.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

$17 x$

$24$

Этап 11.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$d \int - 2 x - 6 + \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$d (\int - 2 x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Этап 13

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$d (- 2 \int x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Этап 14

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Этап 15

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Этап 16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Этап 17

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Этап 17.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 17.1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Этап 17.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{- 17 x + 24}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 17.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 17.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 17.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 17.1.5

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 17.1.5.2

Разделим $- 17 x + 24$ на $1$ .

$- 17 x + 24 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 17.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$- 17 x + 24 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 17.1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 17.1.6.2

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Этап 17.1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 17.1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 17.1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 17 x + 24 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Этап 17.1.6.2.2.4

Разделим $B (x - 2)$ на $1$ .

$- 17 x + 24 = A + B (x - 2)$

Этап 17.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 17 x + 24 = A + B x + B \cdot - 2$

Этап 17.1.6.4

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$- 17 x + 24 = A + B x - 2 B$

Этап 17.1.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$- 17 x + 24 = B x + A - 2 B$

Этап 17.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 17 = B$

Этап 17.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$24 = A - 2 B$

Этап 17.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

Этап 17.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = - 17$ .

$B = - 17$

$24 = A - 2 B$

Этап 17.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $- 17$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $24 = A - 2 B$ на $- 17$ .

$24 = A - 2 \cdot - 17$

$B = - 17$

Этап 17.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.2.1

Умножим $- 2$ на $- 17$ .

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

Этап 17.3.3

Решим относительно $A$ в $24 = A + 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + 34 = 24$ .

$A + 34 = 24$

$B = - 17$

Этап 17.3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.3.2.1

Вычтем $34$ из обеих частей уравнения.

$A = 24 - 34$

$B = - 17$

Этап 17.3.3.2.2

Вычтем $34$ из $24$ .

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

Этап 17.3.4

Решим систему уравнений.

$A = - 10 B = - 17$

Этап 17.3.5

Перечислим все решения.

$A = - 10, B = - 17$

Этап 17.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Этап 17.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Этап 17.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 18

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 19

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - \int \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 20

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - (10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 21

Умножим $10$ на $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 22

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 22.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 22.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 22.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 22.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 22.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 23

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 23.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 23.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 24

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 25

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{17}{x - 2} d x)$

Этап 26

Поскольку $17$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $17$ из-под знака интеграла.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (17 \int \frac{1}{x - 2} d x))$

Этап 27

Умножим $17$ на $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Этап 28

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 28.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 28.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 28.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 28.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 28.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 29

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Этап 30

Упростим.

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{u_{1}} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 31

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 31.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| x - 2 |)) + C$