Математический анализ Примеры

${(r + 3 s)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(r)}^{3 - k} \cdot {(3 s)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(r)}^{3 - 0} \cdot {(3 s)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(r)}^{3 - 1} \cdot {(3 s)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(r)}^{3 - 2} \cdot {(3 s)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(r)}^{3 - 3} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(3 s)}^{0} + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(r)}^{3}$ на $1$ .

${(r)}^{3} \cdot {(3 s)}^{0} + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $3 s$ .

$r^{3} \cdot (3^{0} s^{0}) + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3^{0} r^{3} s^{0} + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 r^{3} s^{0} + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.5

Умножим $r^{3}$ на $1$ .

$r^{3} s^{0} + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$r^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $r^{3}$ на $1$ .

$r^{3} + 3 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(3 s)}^{1} + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.8

Упростим.

$r^{3} + 3 r^{2} \cdot (3 s) + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r^{3} + 3 \cdot 3 r^{2} s + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.10

Умножим $3$ на $3$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 3 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.11

Упростим.

$r^{3} + 9 r^{2} s + 3 \cdot r \cdot {(3 s)}^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.12

Применим правило умножения к $3 s$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 3 r \cdot (3^{2} s^{2}) + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r^{3} + 9 r^{2} s + 3 \cdot 3^{2} r s^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.14

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 3^{1} \cdot 3^{2} r s^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.14.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r^{3} + 9 r^{2} s + 3^{1 + 2} r s^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.14.2

Добавим $1$ и $2$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 3^{3} r s^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.15

Возведем $3$ в степень $3$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 27 r s^{2} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.16

Умножим ${(r)}^{0}$ на $1$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 27 r s^{2} + {(r)}^{0} \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 27 r s^{2} + 1 \cdot {(3 s)}^{3}$

Этап 4.18

Умножим ${(3 s)}^{3}$ на $1$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 27 r s^{2} + {(3 s)}^{3}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $3 s$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 27 r s^{2} + 3^{3} s^{3}$

Этап 4.20

Возведем $3$ в степень $3$ .

$r^{3} + 9 r^{2} s + 27 r s^{2} + 27 s^{3}$