Математический анализ Примеры

$x^{2} - 9 y^{2} = 200$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 9 y^{2} = 200 - x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $- 9 y^{2} = 200 - x^{2}$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 9 y^{2} = 200 - x^{2}$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{200}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{200}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{200}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{200}{9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Этап 2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - \frac{200}{9} + \frac{x^{2}}{9}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{200}{9} + \frac{x^{2}}{9}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{200}{9} + \frac{x^{2}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 200 + x^{2}}{9}}$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{- 200 + x^{2}}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} (- 200 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- 200 + x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 200 + x^{2})}{9}}$

Этап 4.2.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 200 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.2.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- 200 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (- 200 + x^{2})}$

Этап 4.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{- 200 + x^{2}}$

Этап 4.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{- 200 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 200 + x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 200 + x^{2} \geq 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $200$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 200$

Этап 7.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{200}$

Этап 7.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{200}$

Этап 7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим $\sqrt{200}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Перепишем $200$ в виде $10^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $100$ из $200$ .

$| x | \geq \sqrt{100 (2)}$

Этап 7.3.2.1.1.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{10^{2} \cdot 2}$

Этап 7.3.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 10 | \sqrt{2}$

Этап 7.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $10$ равно $10$ .

$| x | \geq 10 \sqrt{2}$

Этап 7.4

Запишем $| x | \geq 10 \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 7.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 10 \sqrt{2}$

Этап 7.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 7.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 10 \sqrt{2}$

Этап 7.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 10 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \geq 10 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 7.5

Найдем пересечение $x \geq 10 \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 10 \sqrt{2}$

Этап 7.6

Разделим каждый член $- x \geq 10 \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Разделим каждый член $- x \geq 10 \sqrt{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 7.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 7.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 7.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot (10 \sqrt{2})$

Этап 7.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (10 \sqrt{2})$ в виде $- (10 \sqrt{2})$ .

$x \leq - (10 \sqrt{2})$

Этап 7.6.3.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$x \leq - 10 \sqrt{2}$

Этап 7.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - 10 \sqrt{2}$ или $x \geq 10 \sqrt{2}$

Этап 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 10 \sqrt{2}] \cup [10 \sqrt{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 10 \sqrt{2}, x \geq 10 \sqrt{2}}$

Этап 9

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 10

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 10 \sqrt{2}] \cup [10 \sqrt{2}, \infty), {x | x \leq - 10 \sqrt{2}, x \geq 10 \sqrt{2}}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 11