Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Этап 5.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Этап 5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Этап 6

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 10

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 13

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 14

Упростим.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 15.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Этап 16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Этап 16.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Этап 16.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$