Математический анализ Примеры

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции $f$ на заданном интервале $[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 0} \cdot (\int_{0}^{5} {(x^{3})}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{5} x^{3 \cdot 2} d x$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int_{0}^{5} x^{6} d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{5}$

Этап 3.3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем значение $\frac{1}{7} x^{7}$ в $5$ и в $0$ .

$(\frac{1}{7} \cdot 5^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $5$ в степень $7$ .

$\frac{1}{7} \cdot 78125 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Этап 3.3.2.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $78125$ .

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Этап 3.3.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{78125}{7} + 0 (\frac{1}{7})$

Этап 3.3.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{78125}{7} + 0$

Этап 3.3.2.6

Добавим $\frac{78125}{7}$ и $0$ .

$\frac{78125}{7}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{5 - 0}$ на $\frac{78125}{7}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 - 0) \cdot 7}}$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 + 0) \cdot 7}}$

Этап 4.2.2

Добавим $5$ и $0$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{5 \cdot 7}}$

Этап 4.3

Сократим выражение $\frac{78125}{5 \cdot 7}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $5$ из $78125$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 7$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 (7)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{15625}{7}}$

Этап 4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{15625}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $15625$ в виде $125^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{125^{2}}}{\sqrt{7}}$

Этап 4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{125}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $\frac{125}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.7.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.7.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 4.7.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Этап 4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Десятичная форма:

$f_{rms} = 47.24555912 \dots$

Этап 6