Математический анализ Примеры

$e^{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $e^{\sqrt{x}}$ в виде функции.

$f (x) = e^{\sqrt{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

Пусть $u = \sqrt{x}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

$\int 2 u e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u e^{u} d u$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 8

Упростим.

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{x}$ .

$2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$