Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.4

Упростим.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.11.3

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.1.12

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

Этап 2.1.1.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x + 1}$

Этап 2.1.1.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

Этап 2.1.1.15.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.16

Объединим $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ и $- \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.16.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.16.2

Чтобы записать $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.16.3

Объединим $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.16.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.17

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.18

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.18.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.19

Упростим $4 x {(x + 1)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Этап 2.1.1.20

Перепишем $\frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ в виде произведения.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Этап 2.1.1.21

Умножим $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Этап 2.1.1.22

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.1.1.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.24

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.1.1.26

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.27.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.27.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.27.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.27.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.27.3.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x) + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27.3.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x) + x \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.1.27.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.1.2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 3 x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

По правилу суммы производная $3 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + 0) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 3 + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.6.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot x + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + (3 x + 4) \cdot 1) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.8.1

Умножим $3 x + 4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 3 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.5.8.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.11.2

Объединим $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.12

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.15.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.15.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x) + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.3

Перенесем $4$ влево от ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5

Умножим $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5.4

Объединим $\frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ в числитель.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 (2))}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 \cdot 2)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.7

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.9

Чтобы записать $- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.10

Объединим $- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} + \frac{- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.12.1

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ из $- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.12.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.12.1.1.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.12.1.1.2

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 x \cdot (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.12.1.1.3

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.12.1.2

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ из $- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.12.1.3

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ из $- 6 \cdot 2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.12.1.4

Вынесем множитель $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ из $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.12.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.13

Чтобы записать $6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.14

Объединим $6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.16

Чтобы записать $4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.17

Объединим $4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.19

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20

Перепишем $\frac{2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.20.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.20.1.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.1.2

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.1.3

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.1.4

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.1.5

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.3

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.4

Упростим.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 \cdot 1 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.6

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.7

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.8

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.9

Упростим.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.11

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.20.11.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.11.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.12

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.13

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.15

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.20.16.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1.20.16.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.16.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.16.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.17

Добавим $8 x$ и $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (20 x + 8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.18

Вычтем $12 x$ из $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.19

Вычтем $9 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 3 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.1.20.20

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.2.1

Перепишем $\frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.2.2

Умножим $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}$ на $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2 (2 {(x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.2.16.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{4 {(x + 1)}^{3}}$

Этап 2.1.2.16.2.4

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2.16.2.5

Умножим ${(x + 1)}^{3}$ на ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.2.5.1

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.2.16.2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Этап 2.1.2.16.2.5.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 2.1.2.16.2.5.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 2.1.2.16.2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 2.1.2.16.2.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.2.5.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Этап 2.1.2.16.2.5.6.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x^{2} + 8 x + 8 = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.3.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = 8$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.3

Вычтем $96$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.4

Перепишем $- 32$ в виде $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (32)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.7

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Этап 2.2.3.3.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.3

Вычтем $96$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.4

Перепишем $- 32$ в виде $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (32)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.7

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Этап 2.2.3.4.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.4.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $2 i \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 2 i \sqrt{2})}{3}$

Этап 2.2.3.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (- 2 i \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (4 - 2 i \sqrt{2})}{3}$

Этап 2.2.3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.3

Вычтем $96$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.4

Перепишем $- 32$ в виде $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (32)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.7

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Этап 2.2.3.5.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.5.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 i \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (2 i \sqrt{2})}{3}$

Этап 2.2.3.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (2 i \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (4 + 2 i \sqrt{2})}{3}$

Этап 2.2.3.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 2.2.3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}, - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x + 1} = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Упростим.

$x + 1 = 0^{2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 1}$

Интервальное представление:

$(- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 1}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- 1, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 1, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2} + 8 (0) + 8}{4 {((0) + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $8$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.2.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.2.1.5

Добавим $0$ и $8$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $8$ на $4$ .

$f'' (0) = 2$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 1, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6