Математический анализ Примеры

$(1 - x) e^{x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $(1 - x) e^{x}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} (1 - x) e^{x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $(1 - x) e^{x}$ в виде $\frac{1 - x}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - x}{e^{- x}}$

Этап 3.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Этап 3.2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - x + 1}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Этап 3.2.1.2.2

Для многочлена нечетной степени, старший коэффициент которого отрицателен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Этап 3.2.1.3

Поскольку показатель степени $- x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{- x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3.2

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 3.2.3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.2.3.6.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.2.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.2.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Этап 3.2.3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Этап 3.2.3.10

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Этап 3.2.3.11

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{- e^{- x}}$

Этап 3.2.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Этап 3.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{- x}}$ стремится к $0$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 7