Математический анализ Примеры

$\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ не определено.

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Этап 2.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Этап 2.2.1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Этап 2.2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Этап 2.2.1.3.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Этап 2.2.1.3.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $3$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - \infty}$

Этап 2.2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$2 \frac{\infty}{5 + - \infty}$

Этап 2.2.1.3.3.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.2.1.3.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.2.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.2.2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Этап 2.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Этап 2.2.3.3

По правилу суммы производная $5 - 3 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Этап 2.2.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Этап 2.2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 e^{x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 2.2.3.5.2

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 e^{x}}$

Этап 2.2.3.6

Вычтем $3 e^{x}$ из $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 3}$

Этап 2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Найдем предел $\frac{1}{- 3}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 (\frac{1}{- 3})$

Этап 2.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{1}{3})$

Этап 2.3.2.2

Умножим $2 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\frac{1}{3})$

Этап 2.3.2.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3}$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Этап 3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Этап 3.3.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{0}{5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Этап 3.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Этап 3.4

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 \cdot 0}$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель $0$ и $5 - 3 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - 3 \cdot 0}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \cdot 0$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 3 \cdot 0)}$

Этап 3.5.1.4

Изменим порядок членов.

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$2 \frac{5 (0)}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Этап 3.5.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)$ .

$2 \frac{5 (0)}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Этап 3.5.1.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{5 \cdot 0}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Этап 3.5.1.6.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Этап 3.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $0$ на $3$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

Этап 3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (\frac{0}{1})$

Этап 3.5.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 \cdot 0$

Этап 3.5.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = - \frac{2}{3}, 0$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = \ln (\frac{5}{3})$

Горизонтальные асимптоты: $y = - \frac{2}{3}, 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 7