Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ не определено.

$x = - 1$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Этап 2.1.1.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Чтобы записать $e^{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Этап 2.1.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Этап 2.1.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Этап 2.1.2.2

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Умножим $e^{x}$ на $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим $e^{x}$ и $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $e^{x}$ на $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Этап 2.1.2.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Этап 2.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Этап 2.2.1.2

Поскольку показатель степени $x + 1$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x + 1}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Этап 2.2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 2.2.1.3.2

Поскольку показатель степени $x + 1$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x + 1}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 2.2.1.3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Этап 2.2.1.3.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.3.3.2.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.3.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.7

Умножим $e^{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Этап 2.2.3.8

По правилу суммы производная $e^{x + 1} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.9.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.9.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9.1.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.9.6

Умножим $e^{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 2.2.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Этап 2.2.3.11

Добавим $e^{x + 1}$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $e^{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} 1$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$1$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Этап 3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Этап 3.4

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Этап 3.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем предел $e^{- 1}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Этап 3.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Этап 3.5.2.1.2

Вычтем $\frac{1}{e}$ из $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Этап 3.5.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$0 (- e)$

Этап 3.5.2.3

Умножим $0 (- e)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 e$

Этап 3.5.2.3.2

Умножим $0$ на $e$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 1, 0$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1$

Горизонтальные асимптоты: $y = 1, 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 7