Математический анализ Примеры

$\frac{12}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{12}{y^{2} + 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ .

$\frac{12}{y^{2} + 1} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2} + 1, 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y^{2} + 1, 1$

Этап 2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2} + 1$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ умножим на $y^{2} + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ на $y^{2} + 1$ .

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$12 = x (y^{2} + 1)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 = x y^{2} + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$12 = x y^{2} + x$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{2} + x = 12$ .

$x y^{2} + x = 12$

Этап 2.4.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x y^{2} = 12 - x$

Этап 2.4.3

Разделим каждый член $x y^{2} = 12 - x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим каждый член $x y^{2} = 12 - x$ на $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 2.4.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 2.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 2.4.3.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} - 1$

Этап 2.4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$

Этап 2.4.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Этап 2.4.5.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} + \frac{- x}{x}}$

Этап 2.4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{12 - x}{x}}$

Этап 2.4.5.4

Перепишем $\sqrt{\frac{12 - x}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$

Этап 2.4.5.5

Умножим $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 2.4.5.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 2.4.5.6.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Этап 2.4.5.6.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Этап 2.4.5.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.5.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 2.4.5.6.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.5.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.5.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.5.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.5.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Этап 2.4.5.6.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x}$

Этап 2.4.5.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$

Этап 2.4.5.8

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Этап 2.4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Этап 2.4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Этап 2.4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ обратной к $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(0, 12]$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x (12 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (12 - x) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$12 - x = 0$

Этап 4.3.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.3.2.3

Приравняем $12 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Приравняем $12 - x$ к $0$ .

$12 - x = 0$

Этап 4.3.2.3.2

Решим $12 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 12$

Этап 4.3.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 12$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 12$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 12$ на $- 1$ .

$x = 12$

Этап 4.3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (12 - x) \geq 0$ верно.

$x = 0, 12$

Этап 4.3.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Этап 4.3.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.3.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (12 - (- 2)) \geq 0$

Этап 4.3.2.6.1.3

Левая часть $- 28$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.2.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 4.3.2.6.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) (12 - (2)) \geq 0$

Этап 4.3.2.6.2.3

Левая часть $20$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.3.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 4.3.2.6.3.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

$(14) (12 - (14)) \geq 0$

Этап 4.3.2.6.3.3

Левая часть $- 28$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 12$ Истина

$x > 12$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 12$ Истина

$x > 12$ Ложь

Этап 4.3.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 12$

Этап 4.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.3.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, 12]$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{12}{x^{2} + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 4.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 4.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 4.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 4.4.3

Область определения ― все вещественные числа.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ — обратная к $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Этап 5