Математический анализ Примеры

$f (x) = \sec (x)$ , $x = \frac{π}{4}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2

Упростим $\sec (\frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.2.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.2.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.2.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$y = \sqrt{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{4}$ и $y = \sqrt{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 2.2

Найдем производную в $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2} \tan (\frac{π}{4})$

Этап 2.3.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\sqrt{2} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\sqrt{2}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4}$

Этап 3.3.2

Добавим $\sqrt{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $\sqrt{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.3.3.2

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Этап 3.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Этап 3.3.3.4

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) + 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.3.3.8

Перепишем $- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ в виде $- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4