Математический анализ Примеры

$7 x + 5 x^{- 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $7 x + 5 x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (x) = 7 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{- 1}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$f' (x) = 7 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 7 + 5 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = 7 - 5 x^{- 2}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 5 x^{- 2} + 7$ .

$- 5 x^{- 2} + 7$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 5 x^{- 2} + 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 7 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 7 = 0$

Этап 2.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} + 7 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x^{2}} + 7 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{5}{x^{2}} = - 7$

Этап 2.4

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.4.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.5

Каждый член в $- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим каждый член $- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ на $x^{2}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 5 = - 7 x^{2}$

Этап 2.6

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 7 x^{2} = - 5$ .

$- 7 x^{2} = - 5$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $- 7 x^{2} = - 5$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $- 7 x^{2} = - 5$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

Этап 2.6.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 7}$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{5}{7}$

Этап 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

Этап 2.6.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Этап 2.6.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 2.6.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 2.6.4.3.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 2.6.4.3.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 2.6.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 2.6.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 2.6.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.6.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.6.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.6.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.6.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 2.6.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Этап 2.6.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Этап 2.6.4.4.2

Умножим $5$ на $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 2.6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 2.6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 2.6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим основание в $x^{- 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $7 x + 5 x^{- 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{\sqrt{35}}{7}$ вместо $x$ .

$7 (\frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sqrt{35}}{7} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{35} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Этап 4.1.2.1.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7}{\sqrt{35}}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $\frac{7}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sqrt{35} + 5 (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Этап 4.1.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Умножим $\frac{7}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

Этап 4.1.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

Этап 4.1.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Этап 4.1.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}}$

Этап 4.1.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35}$

Этап 4.1.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $35$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

Этап 4.1.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

Этап 4.1.2.1.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

Этап 4.1.2.1.6.2

Разделим $\sqrt{35}$ на $1$ .

$\sqrt{35} + \sqrt{35}$

Этап 4.1.2.2

Добавим $\sqrt{35}$ и $\sqrt{35}$ .

$2 \sqrt{35}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{\sqrt{35}}{7}$ вместо $x$ .

$7 (- \frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{35}}{7}$ в числитель.

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{35} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Этап 4.2.2.1.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7}{\sqrt{35}})$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $\frac{7}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}))$

Этап 4.2.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Умножим $\frac{7}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Этап 4.2.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}})$

Этап 4.2.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}})$

Этап 4.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

Этап 4.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

Этап 4.2.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 4.2.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 4.2.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Этап 4.2.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Этап 4.2.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}})$

Этап 4.2.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35})$

Этап 4.2.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 \sqrt{35}}{35}$ в числитель.

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{35}$

Этап 4.2.2.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $35$ .

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

Этап 4.2.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

Этап 4.2.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{35} + \frac{- 7 \sqrt{35}}{7}$

Этап 4.2.2.1.6

Сократим общий множитель $- 7$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 \sqrt{35}$ .

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7}$

Этап 4.2.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 (1)}$

Этап 4.2.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 \cdot 1}$

Этап 4.2.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{35} + \frac{- \sqrt{35}}{1}$

Этап 4.2.2.1.6.2.4

Разделим $- \sqrt{35}$ на $1$ .

$- \sqrt{35} - \sqrt{35}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $\sqrt{35}$ из $- \sqrt{35}$ .

$- 2 \sqrt{35}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$7 (0) + 5 {(0)}^{- 1}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $7$ на $0$ .

$0 + 5 {(0)}^{- 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

Этап 4.3.2.1.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

Этап 4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{\sqrt{35}}{7}, 2 \sqrt{35}), (- \frac{\sqrt{35}}{7}, - 2 \sqrt{35})$

Этап 5