Математический анализ Примеры

$0.05 x + 20 + \frac{320}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $0.05 x + 20 + \frac{320}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $0.05$ является константой относительно $x$ , производная $0.05 x$ по $x$ равна $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $0.05$ на $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $320$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{320}{x}$ по $x$ равна $320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0.05 + 0 + 320 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 320 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.4.4

Умножим $- 1$ на $320$ .

$0.05 + 0 - 320 x^{- 2}$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 320 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Добавим $0.05$ и $0$ .

$0.05 - 320 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.5.2.2

Объединим $- 320$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 320}{x^{2}}$

Этап 1.1.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0.05 - \frac{320}{x^{2}}$

Этап 1.1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{320}{x^{2}} + 0.05$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{320}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{320}{x^{2}} + 0.05$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{320}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{320}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $0.05$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{320}{x^{2}} = - 0.05$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.4

Каждый член в $- \frac{320}{x^{2}} = - 0.05$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{320}{x^{2}} = - 0.05$ на $x^{2}$ .

$- \frac{320}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{320}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 320 = - 0.05 x^{2}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 0.05 x^{2} = - 320$ .

$- 0.05 x^{2} = - 320$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 0.05 x^{2} = - 320$ на $- 0.05$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 0.05 x^{2} = - 320$ на $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 320}{- 0.05}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 0.05$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 320}{- 0.05}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 320}{- 0.05}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $- 320$ на $- 0.05$ .

$x^{2} = 6400$

Этап 2.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{6400}$

Этап 2.5.4

Упростим $\pm \sqrt{6400}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем $6400$ в виде $80^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{80^{2}}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 80$

Этап 2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 80$

Этап 2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 80$

Этап 2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 80, - 80$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{320}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $0.05 x + 20 + \frac{320}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $80$ вместо $x$ .

$0.05 (80) + 20 + \frac{320}{80}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $0.05$ на $80$ .

$4 + 20 + \frac{320}{80}$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $320$ на $80$ .

$4 + 20 + 4$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $4$ и $20$ .

$24 + 4$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $24$ и $4$ .

$28$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 80$ вместо $x$ .

$0.05 (- 80) + 20 + \frac{320}{- 80}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $0.05$ на $- 80$ .

$- 4 + 20 + \frac{320}{- 80}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $320$ на $- 80$ .

$- 4 + 20 - 4$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 4$ и $20$ .

$16 - 4$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $4$ из $16$ .

$12$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$0.05 (0) + 20 + \frac{320}{0}$

Этап 4.3.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(80, 28), (- 80, 12)$

Этап 5