Математический анализ Примеры

$16 x^{4} + 125 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $16 x^{4} + 125 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{4}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $125$ является константой относительно $x$ , производная $125 x$ по $x$ равна $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $125$ на $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $64 x^{3} + 125 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $125$ из обеих частей уравнения.

$64 x^{3} = - 125$

Этап 2.3

Добавим $125$ к обеим частям уравнения.

$64 x^{3} + 125 = 0$

Этап 2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $64 x^{3}$ в виде ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

Этап 2.4.2

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Этап 2.4.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 4 x$ и $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.4.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.4.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.4.4.4

Умножим $5$ на $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Этап 2.4.4.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Этап 2.6

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $4 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 5$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{4}$

Этап 2.7

Приравняем $16 x^{2} - 20 x + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $16 x^{2} - 20 x + 25$ к $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Этап 2.7.2

Решим $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.7.2.2

Подставим значения $a = 16$ , $b = - 20$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 64$ на $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.3

Вычтем $1600$ из $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.4

Перепишем $- 1200$ в виде $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (1200)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.7

Перепишем $1200$ в виде $20^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $400$ из $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.7.2

Перепишем $400$ в виде $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.1.9

Перенесем $20$ влево от $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.7.2.3.3

Упростим $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.2.2

Умножим $- 64$ на $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.3

Вычтем $1600$ из $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.4

Перепишем $- 1200$ в виде $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (1200)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.7

Перепишем $1200$ в виде $20^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $400$ из $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.7.2

Перепишем $400$ в виде $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.1.9

Перенесем $20$ влево от $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.7.2.4.3

Упростим $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.7.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.5.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.2.2

Умножим $- 64$ на $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.3

Вычтем $1600$ из $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.4

Перепишем $- 1200$ в виде $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (1200)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.7

Перепишем $1200$ в виде $20^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $400$ из $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.7.2

Перепишем $400$ в виде $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.1.9

Перенесем $20$ влево от $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.7.2.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.7.2.5.3

Упростим $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.7.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $16 x^{4} + 125 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{5}{4}$ вместо $x$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ на $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $5$ в степень $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $4$ в степень $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.6

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $256$ .

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.7

Умножим $125 (- \frac{5}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

Этап 4.1.2.1.7.2

Объединим $- 125$ и $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

Этап 4.1.2.1.7.3

Умножим $- 125$ на $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

Этап 4.1.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{625}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{625}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 625$ на $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $2500$ из $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1875}{16}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

Этап 5