Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ , $x = 1$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{15 x^{5}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Этап 1.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Этап 1.2.5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Этап 1.2.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Этап 1.2.7

Умножим $x^{- 10}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Этап 1.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Этап 1.2.7.3

Вычтем $10$ из $4$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

Этап 1.2.8

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

Этап 1.2.9

Объединим $5$ и $\frac{1}{15}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

Этап 1.2.10

Объединим $\frac{5}{15}$ и $x^{- 6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

Этап 1.2.11

Перенесем $x^{- 6}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

Этап 1.2.12

Сократим общий множитель $5$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

Этап 1.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15 x^{6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

Этап 1.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

Этап 1.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Этап 3.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Этап 3.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 1}$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3}$

Этап 4

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 5

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (1) = \frac{15 + 1}{3}$

Этап 7.2

Добавим $15$ и $1$ .

$f' (1) = \frac{16}{3}$