Математический анализ Примеры

$p = \frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)})$

Этап 2

Производная $p$ по $q$ равна $p'$ .

$p'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ имеет вид $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , где $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ и $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sin (q) + \cos (q)$ по $q$ имеет вид $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.3

Производная $\sin (q)$ по $q$ равна $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.4

Производная $\cos (q)$ по $q$ равна $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.5

Производная $\sin (q)$ по $q$ равна $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Объединим противоположные члены в $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Вычтем $\sin (q) \cos (q)$ из $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.1.2

Добавим $\sin (q) (- \sin (q))$ и $0$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.2

Умножим $- \sin (q) \sin (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1

Возведем $\sin (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.2.2

Возведем $\sin (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.3

Умножим $- \cos (q) \cos (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.3.1

Возведем $\cos (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.3.2

Возведем $\cos (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Этап 3.6.5.2

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ в $\csc^{2} (q)$ .

$- \csc^{2} (q)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$p' = - \csc^{2} (q)$

Этап 5

Заменим $p'$ на $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \csc^{2} (q)$