Математический анализ Примеры

$y = \tan (\sqrt{1 - x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \tan (y)$ и $g (y) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Этап 4.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $1 - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 4.9

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 4.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 4.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x])$

Этап 4.12

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- x')$

Этап 4.13

Объединим $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x'$ .

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Разделим $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Этап 6.3

Умножим обе части на $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим $\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.5

Разделим каждый член $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.5.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$