Математический анализ Примеры

$y = arccot (\sqrt{4 t})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 t}$ в виде ${(4 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [arccot ({(4 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $4 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [arccot (4^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [arccot ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.4

Найдем экспоненту.

$\frac{d}{d t} [arccot (2 t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = arccot (t)$ и $g (t) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5.2

Производная $arccot (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 (t^{\frac{1}{2}}))}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Применим правило умножения к $2 (t^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{1}{1 + 2^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6.2.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{1 + 4 t^{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.7

Упростим.

$- \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.8

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{1 + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.9.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{1 + 4 t}$ .

$\frac{- 2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.9.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.12

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 4.14.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.17

Умножим $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{2}{1 + 4 t}$ .

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (1 + 4 t)}$

Этап 4.18

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Перенесем $2$ влево от $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + 4 t)}$

Этап 4.18.2

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{1 t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.2.1

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.21.2.2

Умножим $t$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.2.2.1

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Этап 4.21.2.2.2

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.2.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Этап 4.21.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 4.21.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 4.21.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 4.21.2.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.21.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.3.1

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.3.1.1

Умножим на $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.21.3.1.2

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.21.3.1.3

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.21.3.2

Разделим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{1})}$

Этап 4.21.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$