Математический анализ Примеры

$y = 3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{3} - 5)}^{5}] + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{5}$ и $g (t) = 2 t^{3} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t^{3} - 5$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (t (5 u^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t^{3} - 5$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $2 t^{3} - 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{3}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5$ относительно $t$ равна $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + 0)) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Добавим $6 t^{2}$ и $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2})) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.6.2

Умножим $6$ на $5$ .

$3 (t (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4} t^{2}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.5

Возведем $t$ в степень $1$ .

$3 (t^{2} t^{1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (t^{2 + 1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.7

Добавим $2$ и $1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \cdot 1)$

Этап 3.9

Умножим ${(2 t^{3} - 5)}^{5}$ на $1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Этап 3.10.2

Умножим $30$ на $3$ .

$90 (t^{3} ({(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Этап 3.10.3

Вынесем множитель $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ из $90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4} + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Вынесем множитель $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ из $90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Этап 3.10.3.2

Вынесем множитель $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ из $3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$

Этап 3.10.3.3

Вынесем множитель $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ из $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3} + 2 t^{3} - 5)$

Этап 3.10.4

Добавим $30 t^{3}$ и $2 t^{3}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$