Математический анализ Примеры

$y = \frac{t}{t^{2} - 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{t}{t^{2} - 1})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = t^{2} - 1$ .

$\frac{(t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} - 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $t^{2} - 1$ на $1$ .

$\frac{t^{2} - 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $t^{2} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} - 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{t^{2} - 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} - 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{t^{2} - 1 - t (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{t^{2} - 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{2} - 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{2} - 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{2} - 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{t^{2} - 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Вычтем $2 t^{2}$ из $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} - 1}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{- t^{2} - 1}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{- t^{2} - 1}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$