Математический анализ Примеры

$z = x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}})$

Этап 2

Производная $z$ по $x$ равна $z'$ .

$z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $1 - x - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.7

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.9

Перенесем $2$ влево от $1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.11

Вычтем $1$ из $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.12

Умножим $2$ на $- 4$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x) + 2 (- 4 x^{2})) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x \cdot x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.7

Умножим $- 4$ на $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.10

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + 1 x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.12

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.13

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} x}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{1 + 2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.16

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.17

Добавим $- 2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 8 x^{3} - x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.18

Добавим $- 8 x^{3}$ и $8 x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2} + 0}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.19

Добавим $2 x - x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.20

Чтобы записать $3 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$z' = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$