Математический анализ Примеры

$f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $e^{- \frac{x}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Этап 1.3.6

Умножим $e^{- \frac{x}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.8

Объединим $e^{- \frac{x}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.9

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.2.10

Умножим $e^{- \frac{x}{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Этап 2.3.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})$

Этап 2.3.5

Объединим $e^{- \frac{x}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2.5

Объединим $e^{- \frac{x}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2.6

Вычтем $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ из $- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - 2 \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2.7

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- 2 e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Этап 2.4.2.8

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2}$

Этап 2.4.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 (1)}$

Этап 2.4.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- e^{- \frac{x}{2}}}{1}$

Этап 2.4.2.8.2.4

Разделим $- e^{- \frac{x}{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.2

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Объединим $e^{- \frac{x}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Этап 4.1.3.6

Умножим $e^{- \frac{x}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $e^{- \frac{x}{2}}$ из $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{x}{2}}$ из $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Этап 5.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $e^{- \frac{x}{2}}$ из $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{- \frac{x}{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{- \frac{x}{2}}$ к $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $- \frac{x}{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- \frac{x}{2} + 1$ к $0$ .

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Этап 5.5.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{(2) e^{- \frac{2}{2}}}{4} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем $e^{- \frac{2}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{1}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.4

Упростим.

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 9.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 9.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1}$

Этап 9.1.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e}$

Этап 9.2

Чтобы записать $- \frac{1}{e}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 e$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{e \cdot 2}$

Этап 9.3.2

Изменим порядок множителей в $e \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{2 e}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2}{2 e}$

Этап 9.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1}{2 e}$

Этап 9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 e}$

Этап 10

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = (2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1}$

Этап 11.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 11.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$f (2) = \frac{2}{e}$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$ .

$(2, \frac{2}{e})$ — локальный максимум

Этап 13