Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x \sqrt{x - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - x^{2}}$ в виде ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - x^{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 1.15

Умножим ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x)) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.2.1

Объединим $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $3$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.16.2.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.16.3

Изменим порядок членов.

$(1 - 2 x) \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.16.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.4.1

Умножим $1 - 2 x$ на $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.16.4.2

Перенесем $3$ влево от $1 - 2 x$ .

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.16.5

Чтобы записать $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.6

Объединим $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.8.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (1 - 2 x) x$ .

$\frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ .

$\frac{3 ((1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{3 (x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.8.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 (x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.6

Умножим ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.8.6.1

Перенесем ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.6.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{1})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.7

Упростим $2 {(x - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.10

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.11

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2} + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.12

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.8.12.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{3 (x (- 4 x) + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.12.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{3 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.8.12.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$\frac{3 (x (- 4 x + 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{3 x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$\frac{3 x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.10

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{3 x (- (4 x) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{3 x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.12

Перепишем $- (4 x - 3)$ в виде $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{3 x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.16.14

Изменим порядок множителей в $- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x (4 x - 3)$ и $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.5

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} (4 x - 3) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

По правилу суммы производная $4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.6.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + (4 x - 3) \cdot 1) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.8.1

Умножим $4 x - 3$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 4 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.6.8.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.7.2

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.12.3

Перенесем ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.12.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x - x^{2})}{x - x^{2}}$

Этап 2.13

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Этап 2.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Этап 2.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{x - x^{2}}$

Этап 2.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - (2 x)))}{x - x^{2}}$

Этап 2.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Этап 2.17.2

Умножим $\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)}{x - x^{2}}$ на $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))) \cdot 3}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

Этап 2.17.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1

Перенесем $3$ влево от ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

Этап 2.17.3.2

Перенесем $2$ влево от $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 \cdot (x - x^{2})}$

Этап 2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 (x - x^{2})}$

Этап 2.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.4

Перенесем $- 3$ влево от ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.6.3

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.6.4

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.6.5

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.7

Объединим $2$ и $\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{2 (- x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.9

Объединим $\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x \cdot x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.18.3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.14

Умножим $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.14.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.14.2

Объединим $3$ и $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.16

Развернем $(- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 2.18.3.17

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.17.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.2

Умножим $- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.17.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.2.4

Объединим $\frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2} x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (x \cdot x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{1 + 2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.2.7

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.3

Умножим $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.17.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.6

Умножим $- \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.17.1.6.1

Объединим $x$ и $\frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x (3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.17.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.19

Вычтем $3 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.20

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3} - 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.20.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.20.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.20.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.21

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.22

Чтобы записать $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.23

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.23.1

Умножим $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.23.2

Перенесем $2$ влево от ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.25.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.25.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x) + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.4

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.25.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 (x \cdot x) - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.7

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.8

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.25.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.25.9.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.9.1.2

Запишем $- 10$ как $- 4$ плюс $- 6$

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.25.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.25.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((2 x - 1) (4 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.26

Чтобы записать $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.27

Объединим $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ и $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.29

Чтобы записать $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Этап 2.18.3.30

Объединим $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32

Перепишем $\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.1

Умножим $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.1.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.1.3

Умножим ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.1.3.1

Перенесем ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.1.3.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.1.4

Упростим $16 {(- x^{2} + x)}^{1} x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{(16 (- x^{2}) + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{(- 16 x^{2} + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{2} x + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 (x \cdot x^{2}) + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.18.3.32.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{1 + 2} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.6.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 (x \cdot x) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (x (2 x) + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.9

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.10.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.10.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.11

Развернем $(2 x^{2} - x) (4 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x - 3) - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.12.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.12.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.12.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.18.3.32.12.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.12.1.6.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2}) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.1.8

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.12.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.14

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.15

Умножим $- 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.15.1

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.15.2

Умножим ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.15.2.1

Перенесем ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.15.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.15.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.15.3

Упростим $- 6 {(- x^{2} + x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2}) - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.17

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.18

Добавим $- 16 x^{3}$ и $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.19

Вычтем $10 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.20

Добавим $6 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.21

Вычтем $6 x$ из $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.22

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.32.22.1

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.22.2

Вынесем множитель $x$ из $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.22.3

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.22.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 8 x^{2}) + x (12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.3.32.22.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.4.1

Объединим $3$ и $\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (x (- 8 x^{2} + 12 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Этап 2.18.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$

Этап 2.18.4.3

Перепишем $\frac{\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 2 x^{2}})$

Этап 2.18.4.4

Умножим $\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2 x^{2})}$

Этап 2.18.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.5.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) - 2 x^{2})}$

Этап 2.18.5.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) + 2 x (- x))}$

Этап 2.18.5.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (1) + 2 x (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 x (1 - x))}$

Этап 2.18.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Этап 2.18.6

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Этап 2.18.7

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{3 (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2}) + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.9

Вынесем множитель $- 1$ из $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2}) - (- 12 x) - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x) - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.11

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{2} - 12 x) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x + 3))}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.13

Перепишем $- (8 x^{2} - 12 x + 3)$ в виде $- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3))}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 2.18.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)})$

Этап 2.18.16

Умножим $\frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - x^{2}}$ в виде ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.1.2

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.2

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.3.2

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8.3

Перенесем ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.9

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{d}{d x} x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 4.1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 4.1.15

Умножим ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.2.1

Объединим $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.16.2.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.16.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = (1 - 2 x) (\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.16.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.4.1

Умножим $1 - 2 x$ на $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) (3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.16.4.2

Перенесем $3$ влево от $1 - 2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.16.5

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.6

Объединим $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.8.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (1 - 2 x) x$ .

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ .

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 (1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.8.4.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.6

Умножим ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.8.6.1

Перенесем ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.6.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.7

Упростим $2 {(x - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.10

Добавим $x$ и $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.11

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 4 x^{2} + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.12

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.8.12.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x) + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.12.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.8.12.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x + 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$f' (x) = \frac{3 x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.10

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x) - 1 \cdot - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.12

Перепишем $- (4 x - 3)$ в виде $- 1 (4 x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.16.14

Изменим порядок множителей в $- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x (4 x - 3) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x - 3 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.3

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 5.3.3.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 5.3.3.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (4 x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Этап 5.4

Исключим решения, которые не делают $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ истинным.

$x = \frac{3}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{{(x - x^{2})}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x - x^{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - x^{2}}$ в виде ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (x - x^{2}) = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Этап 6.3.3.1.2

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u - 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Этап 6.3.3.1.2.2

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Этап 6.3.3.1.2.3

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

Этап 6.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Этап 6.3.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 6.3.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3.3.4

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 6.3.3.4.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 6.3.3.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.3.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 6.3.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - x^{2}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - x^{2} < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x - x^{2} = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Этап 6.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Этап 6.5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$x (1 - x) = 0$

Этап 6.5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 6.5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5.5

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 6.5.5.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 6.5.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 6.5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 6.5.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 6.5.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.5.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) - {(- 2)}^{2} < 0$

Этап 6.5.8.1.3

Левая часть $- 6$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.5.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 6.5.8.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$(0.5) - {(0.5)}^{2} < 0$

Этап 6.5.8.2.3

Левая часть $0.25$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5.8.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.5.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) - {(4)}^{2} < 0$

Этап 6.5.8.3.3

Левая часть $- 12$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.5.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 6.5.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > 1$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{3}{4}, 0, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$\frac{3 (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 (8 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3 (8 \frac{9}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{3 (8 (\frac{9}{16}) - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$\frac{3 (8 \frac{9}{8 (2)} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (8 \frac{9}{8 \cdot 2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} + 4 (- 3) \frac{3}{4} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (\frac{9}{2} + 4 \cdot - 3 \frac{3}{4} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.6

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 9 + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.7

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.8

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (\frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.10.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{3 (\frac{9 - 18}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.10.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.11

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.12

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \frac{- 9 + 3 \cdot 2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.14.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 \frac{- 9 + 6}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.14.2

Добавим $- 9$ и $6$ .

$\frac{3 (\frac{- 3}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 \cdot - 1 \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.16

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.16.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (3 (\frac{3}{2}))}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.16.2

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- \frac{3 \cdot 3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.2.16.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{4 - 3}{4}}$

Этап 9.3.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Этап 9.3.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4}{4} {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.4.2

Объединим $\frac{4}{4}$ и ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Этап 9.3.6

Разделим ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.7.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{3^{2}}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.7.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.7.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.8

Чтобы записать $\frac{3}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.9.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{- 9 + 3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.11.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{- 9 + 12}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.11.2

Добавим $- 9$ и $12$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{3}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.12

Применим правило умножения к $\frac{3}{16}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 9.3.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.13.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 9.3.13.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Этап 9.3.13.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.13.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Этап 9.3.13.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{1}}}$

Этап 9.3.13.4

Найдем экспоненту.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{2}$ в числитель.

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.5.4

Перепишем это выражение.

$- 9 \frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.6

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{- 18}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10

$x = \frac{3}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{4}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 (\frac{3}{4}) \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $3 (\frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \cdot 3}{4} \cdot \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Этап 11.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{4^{2}}}$

Этап 11.2.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{16}}$

Этап 11.2.5

Чтобы записать $\frac{3}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{16}}$

Этап 11.2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{9}{16}}$

Этап 11.2.6.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{16} - \frac{9}{16}}$

Этап 11.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4 - 9}{16}}$

Этап 11.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{12 - 9}{16}}$

Этап 11.2.8.2

Вычтем $9$ из $12$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}$

Этап 11.2.9

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$

Этап 11.2.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 11.2.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Этап 11.2.11

Умножим $\frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Умножим $\frac{9}{4}$ на $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 \sqrt{3}}{4 \cdot 4}$

Этап 11.2.11.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

Этап 11.2.12

Окончательный ответ: $\frac{9 \sqrt{3}}{16}$ .

$y = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Избавимся от скобок.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Этап 13.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- 0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Этап 13.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Этап 13.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Этап 13.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Этап 13.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Этап 13.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Этап 13.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{1} (1 - (0))}$

Этап 13.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.4.1

Найдем экспоненту.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0 (1 - (0))}$

Этап 13.3.4.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0 (1 - (0))}$

Этап 13.3.4.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0 \cdot 1}$

Этап 13.3.4.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Этап 13.3.4.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Этап 13.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 15