Математический анализ Примеры

$y = 2 x - \tan (x)$

Этап 1

Запишем $y = 2 x - \tan (x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 x - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

Этап 2.1.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $2 - \sec^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Этап 2.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Этап 2.2.2.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 2.2.2.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Этап 2.2.2.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Этап 2.2.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Этап 2.2.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Этап 2.2.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 2.2.3

Вычтем $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Этап 3.3

Приравняем $\sec^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $\sec^{2} (x)$ к $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

Этап 3.3.2

Решим $\sec^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (x) = \pm 0$

Этап 3.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 3.3.2.3

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3.4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 3.4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 3.4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 3.4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Подставляя в $f (x) = 2 x - \tan (x)$ , найдем точку $(,)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(,)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty,)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.20268949$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty,)$ .

Возрастание в области $(- \infty,)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.20268949$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(, \infty)$ .

Убывание на $(, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(,)$ .

$(,)$

Этап 9