Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 2}$ в виде ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.4

Упростим.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.5.2

Умножим ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.11.3

Перенесем ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.12

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.15.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.15.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.15.4

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.19

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.20

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.21

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.21.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.21.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.23

Чтобы записать ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.25

Умножим ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.25.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.25.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.25.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.26

Упростим ${(x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.27

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.28

Добавим $0$ и $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.29

Перепишем $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ в виде произведения.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2})$

Этап 2.1.30

Умножим $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

Этап 2.1.31

Умножим ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.31.1

Умножим ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.31.1.1

Возведем $x^{2} + 2$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

Этап 2.1.31.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}})$

Этап 2.1.31.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}})$

Этап 2.1.31.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}})$

Этап 2.1.31.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.1.32

Объединим $2$ и $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.33

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Этап 2.2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Этап 2.2.1.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Этап 2.2.1.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 2.2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}})$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.8

Объединим ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Перенесем $3$ влево от ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.9.2

Перенесем ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.9.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Этап 2.2.10

Объединим $\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ и $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 2.2.11

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 2.2.12

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 2.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 2.2.13.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 2.2.13.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 2.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 2.2.15

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 2.2.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 2.2.17

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Этап 2.2.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.18.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Этап 2.2.18.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Этап 2.2.18.3

Объединим $- 2$ и $\frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Этап 2.2.18.4

Умножим $- 2$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Этап 2.2.18.5

Объединим $\frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.2.18.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$12 x = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x = 0$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{2 (0)}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 2}}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0 + 2}}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3

Разделим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{12 (- 0.1)}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $12$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0.01$ и $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем $2.01$ в виде ${1.41774468}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 6.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{5}}$

Этап 6.2.2.6

Возведем $1.41774468$ в степень $5$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{5.72783031}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $- 1.2$ на $5.72783031$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 0.20950341$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.20950341$ .

$0.20950341$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.20950341$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{12 (0.1)}{{({(0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $12$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({0.1}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0.01$ и $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем $2.01$ в виде ${1.41774468}^{2}$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 7.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 7.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 7.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{5}}$

Этап 7.2.2.6

Возведем $1.41774468$ в степень $5$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{5.72783031}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $1.2$ на $5.72783031$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.20950341$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.20950341$ .

$f'' (0.1) = - 0.20950341$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 0.20950341$ .

$- 0.20950341$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.20950341$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 9