Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x + \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 1.1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 1.1.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 1.1.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Этап 1.1.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 1.1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.2.4

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.1.2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.1.2.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.1.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.1.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.1.2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 1.1.2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.1.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.1.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 1.1.2.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 1.1.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 1.1.2.2.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.1.2.2.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 1.1.2.2.13

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 1.1.2.2.13.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 1.1.2.2.13.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 1.1.2.2.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 1.1.2.2.13.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.13.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 1.1.2.2.13.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 1.1.2.2.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 1.1.2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 1.1.2.2.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 1.1.2.2.16

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.2.3

Вычтем $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$[0, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $[0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.1.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.1.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Этап 4.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

Этап 4.2.1.6.2

Добавим $4$ и $3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $[0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $[0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5