Математический анализ Примеры

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

Этап 1

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Этап 3

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Этап 4

Возьмем производную от $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Этап 5

Возьмем производную от $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Этап 6.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

Этап 6.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

Этап 6.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

Этап 6.3.3.3

Умножим $4$ на $12$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

Этап 6.3.3.4

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Этап 7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Этап 7.3.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Этап 7.3.3

Умножим $48$ на $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

Этап 7.3.4

Умножим $- 12$ на $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

Этап 7.3.5

Добавим $- 12 x^{2}$ и $96 x^{2}$ .

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

Этап 7.3.6

Вычтем $24 x$ из $6 x$ .

$84 x^{2} - 18 x$