Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (\int x^{11} d x)$

Этап 1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int x^{11} d x]$

Этап 1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int x^{11} d x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{1}{x}$ и $g (x) = \int x^{11} d x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\int x^{11} d x] + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3

$\int x^{11} d x$ — первообразная $x^{11}$ , поэтому по определению $\frac{d}{d x} [\int x^{11} d x]$ — это $x^{11}$ .

$\frac{1}{x} x^{11} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x^{11}$ .

$\frac{x^{11}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{11}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{11}$ .

$\frac{x \cdot x^{10}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{10}}{x^{1}} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{10}}{1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x^{10}$ на $1$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x (- x^{- 2})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$x^{10} - \frac{1}{x^{2}} \int x^{11} d x$

Этап 6.3

Объединим $- \frac{1}{x^{2}}$ и $\int x^{11} d x$ .

$x^{10} - \frac{\int x^{11} d x}{x^{2}}$