Математический анализ Примеры

$x - y^{3} = 0$ , $x - y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$x = y^{3}$

$x - y = 0$

Этап 1.2

Заменим все вхождения $x$ на $y^{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x - y = 0$ на $y^{3}$ .

$(y^{3}) - y = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Избавимся от скобок.

$y^{3} - y = 0$

$x = y^{3}$

$y^{3} - y = 0$

$x = y^{3}$

$y^{3} - y = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3

Решим относительно $y$ в $y^{3} - y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$y \cdot y^{2} - y = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \cdot y^{2} + y \cdot - 1 = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{2} + y \cdot - 1$ .

$y (y^{2} - 1) = 0$

$x = y^{3}$

$y (y^{2} - 1) = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y (y^{2} - 1^{2}) = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$y ((y + 1) (y - 1)) = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y (y + 1) (y - 1) = 0$

$x = y^{3}$

$y (y + 1) (y - 1) = 0$

$x = y^{3}$

$y (y + 1) (y - 1) = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.3

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.4

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

$x = y^{3}$

$y = - 1$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.5

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

$x = y^{3}$

$y = 1$

$x = y^{3}$

Этап 1.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (y + 1) (y - 1) = 0$ верно.

$y = 0, - 1, 1$

$x = y^{3}$

$y = 0, - 1, 1$

$x = y^{3}$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{3}$ на $0$ .

$x = {(0)}^{3}$

$y = 0$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $y$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{3}$ на $- 1$ .

$x = {(- 1)}^{3}$

$y = - 1$

Этап 1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{3}$ на $0$ .

$x = {(0)}^{3}$

$y = 0$

Этап 1.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Этап 1.7

Заменим все вхождения $y$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{3}$ на $- 1$ .

$x = {(- 1)}^{3}$

$y = - 1$

Этап 1.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

Этап 1.8

Заменим все вхождения $y$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{3}$ на $1$ .

$x = {(1)}^{3}$

$y = 1$

Этап 1.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

Этап 1.9

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

Этап 2

Добавим $y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$x = y^{3}$

Этап 3

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x = y$

Этап 4

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} y^{3} d y - \int_{- 1}^{0} y d y$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{0} y^{3} - (y) d y$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $y$ .

$\int_{- 1}^{0} y^{3} - y d y$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} y^{3} d y + \int_{- 1}^{0} - y d y$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - y d y$

Этап 5.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} y d y$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} y^{4}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.7.2.2

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.5

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.7

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.7.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{1}{2})$

Этап 5.7.2.3.9

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{4} - - \frac{1}{2}$

Этап 5.7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 5.7.2.3.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 5.7.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.7.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 5.7.2.3.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 5.7.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 2}{4}$

Этап 5.7.2.3.15

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 6

$A r e a = \int_{0}^{1} y d y - \int_{0}^{1} y^{3} d y$

Этап 7

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} y - (y^{3}) d y$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $y^{3}$ .

$\int_{0}^{1} y - y^{3} d y$

Этап 7.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} y d y + \int_{0}^{1} - y^{3} d y$

Этап 7.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - y^{3} d y$

Этап 7.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y^{3} d y$

Этап 7.6

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1})$

Этап 7.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} - (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 7.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 7.7.2.2

Найдем значение $\frac{y^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3.6

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 7.7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 7.7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 7.7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 7.7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 7.7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

Этап 7.7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

Этап 7.7.2.3.11

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 7.7.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 7.7.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Этап 7.7.2.3.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 7.7.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{4}$

Этап 7.7.2.3.15

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 8

Сложим площади $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{4}$

Этап 8.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 8.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9