Математический анализ Примеры

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Этап 1.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Упростим $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Умножим $e^{{(1)}^{2}}$ на $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Этап 1.3.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = e^{1}$

Этап 1.3.2.3.3

Упростим.

$y = e$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, e)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Этап 3.4

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Дифференцируем $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 3.4.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 3.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Этап 3.4.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Этап 3.4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Этап 3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = e^{1}$

Этап 3.4.3.2

Упростим.

$u_{lower} = e$

Этап 3.4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Этап 3.4.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Этап 3.4.6

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Этап 3.7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Этап 3.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u_{2}$ в $e^{e^{2}}$ и в $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Этап 3.8.2

Найдем значение $e^{x}$ в $e$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Этап 3.8.3.2

Объединим $e$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Этап 3.8.3.3

Упростим.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Этап 3.8.3.4

Чтобы записать $- (e^{e} - e)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Этап 3.8.3.5

Объединим $- (e^{e} - e)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Этап 3.8.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Этап 3.8.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Этап 3.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Этап 3.9.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Этап 3.9.3

Вычтем $e$ из $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Этап 4