Математический анализ Примеры

$y = \sin (x)$ , $y = x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sin (x) = x$

Этап 1.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 0$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $\frac{π}{2}$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - (\sin (x)) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Этап 3.6

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $π$ и в $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Этап 3.7.1.2

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 3.7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Этап 3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Этап 3.7.2.2

Добавим $- \cos (π)$ и $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Этап 3.7.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Этап 3.7.2.4

Умножим $\cos (π)$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Этап 3.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.3

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.3.1

Умножим $\frac{π^{2}}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.4

Чтобы записать $\frac{π^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.5.1

Умножим $\frac{π^{2}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.7

Вычтем $π^{2}$ из $π^{2} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.7.1

Изменим порядок $π^{2}$ и $4$ .

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Этап 3.7.3.7.2

Вычтем $π^{2}$ из $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Этап 3.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Этап 3.8.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Этап 3.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Этап 4