Математический анализ Примеры

$x = - 5$ , $x = 3$ , $y = 2 x^{2} + 9$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2

Решим $2 x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 9$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 9$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{9}{2}$

Этап 1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $- \frac{9}{2}$ в виде $i^{2} \frac{3^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{9}{2}}$

Этап 1.2.4.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2}}{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3^{2}}{2}}$

Этап 1.2.4.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{9}{2}}$

Этап 1.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \frac{3}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.4.6

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 1.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (3 \sqrt{2})}{2}$

Этап 1.2.4.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.3

Подставим $\frac{3 i \sqrt{2}}{2}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

$y = 0, x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 5}^{3} 2 x^{2} + 9 d x - \int_{- 5}^{3} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 5$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 5}^{3} 2 x^{2} + 9 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $2 x^{2} + 9$ .

$\int_{- 5}^{3} 2 x^{2} + 9 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 5}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 5}^{3} x^{2} d x + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{3}) + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{3}) + \int_{- 5}^{3} 9 d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{3}) + 9 x]_{- 5}^{3}$

Этап 3.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 5$ .

$2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 5}^{3}$

Этап 3.8.2

Найдем значение $9 x$ в $3$ и в $- 5$ .

$2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$2 (9 - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.3

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$2 (9 - \frac{- 125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (9 - - \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (9 + 1 (\frac{125}{3})) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.6

Умножим $\frac{125}{3}$ на $1$ .

$2 (9 + \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{125}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{9 \cdot 3 + 125}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$2 \frac{27 + 125}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.10.2

Добавим $27$ и $125$ .

$2 (\frac{152}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.11

Объединим $2$ и $\frac{152}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 152}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.12

Умножим $2$ на $152$ .

$\frac{304}{3} + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.13

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{304}{3} + 27 - 9 \cdot - 5$

Этап 3.8.3.14

Умножим $- 9$ на $- 5$ .

$\frac{304}{3} + 27 + 45$

Этап 3.8.3.15

Добавим $27$ и $45$ .

$\frac{304}{3} + 72$

Этап 3.8.3.16

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{304}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.8.3.17

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{304}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}$

Этап 3.8.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{304 + 72 \cdot 3}{3}$

Этап 3.8.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.19.1

Умножим $72$ на $3$ .

$\frac{304 + 216}{3}$

Этап 3.8.3.19.2

Добавим $304$ и $216$ .

$\frac{520}{3}$

Этап 4