Математический анализ Примеры

$5 x + y^{2} = 11$ , $x = 2 y$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $x$ на $2 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $5 x + y^{2} = 11$ на $2 y$ .

$5 (2 y) + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$10 y + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

$10 y + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

$10 y + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ в $10 y + y^{2} = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$10 y + y^{2} - 11 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$10 u + u^{2} - 11 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.2.2

Разложим $10 u + u^{2} - 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 11$ , а сумма — $10$ .

$- 1, 11$

$x = 2 y$

Этап 1.2.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 11) = 0$

$x = 2 y$

$(u - 1) (u + 11) = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$(y - 1) (y + 11) = 0$

$x = 2 y$

$(y - 1) (y + 11) = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 1 = 0$

$y + 11 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.4

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

$x = 2 y$

$y = 1$

$x = 2 y$

Этап 1.2.5

Приравняем $y + 11$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $y + 11$ к $0$ .

$y + 11 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$y = - 11$

$x = 2 y$

$y = - 11$

$x = 2 y$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 1) (y + 11) = 0$ верно.

$y = 1, - 11$

$x = 2 y$

$y = 1, - 11$

$x = 2 y$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $y$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 2 y$ на $1$ .

$x = 2 (1)$

$y = 1$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $y$ на $- 11$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 2 y$ на $- 11$ .

$x = 2 (- 11)$

$y = - 11$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $2$ на $- 11$ .

$x = - 22$

$y = - 11$

$x = - 22$

$y = - 11$

$x = - 22$

$y = - 11$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 1)$

$(- 22, - 11)$

$(2, 1)$

$(- 22, - 11)$

Этап 2

Решим $5 x + y^{2} = 11$ , выразив через $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 x = 11 - y^{2}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $5 x = 11 - y^{2}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 11 - y^{2}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{11}{5} + \frac{- y^{2}}{5}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{11}{5} + \frac{- y^{2}}{5}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{11}{5} + \frac{- y^{2}}{5}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5}$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5} d y - \int_{- 11}^{1} 2 y d y$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 11$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5} - (2 y) d y$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5} - 2 y d y$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - \frac{y^{2}}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Этап 4.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} + \int_{- 11}^{1} - \frac{y^{2}}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \int_{- 11}^{1} \frac{y^{2}}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Этап 4.6

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{- 11}^{1} y^{2} d y) + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Этап 4.7

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Этап 4.8

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 \int_{- 11}^{1} y d y$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 11}^{1})$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 11}^{1})$

Этап 4.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $\frac{11}{5} y$ в $1$ и в $- 11$ .

$(\frac{11}{5} \cdot 1) - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 11}^{1})$

Этап 4.10.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} y^{3}$ в $1$ и в $- 11$ .

$\frac{11}{5} \cdot 1 - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 11}^{1})$

Этап 4.10.2.3

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 11$ .

$\frac{11}{5} \cdot 1 - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.1

Умножим $\frac{11}{5}$ на $1$ .

$\frac{11}{5} - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.2

Умножим $- 11$ на $- 1$ .

$\frac{11}{5} + 11 (\frac{11}{5}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.3

Объединим $11$ и $\frac{11}{5}$ .

$\frac{11}{5} + \frac{11 \cdot 11}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.4

Умножим $11$ на $11$ .

$\frac{11}{5} + \frac{121}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11 + 121}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.6

Добавим $11$ и $121$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.8

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.9

Возведем $- 11$ в степень $3$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1331) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.10

Умножим $- 1331$ на $- 1$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 1331 (\frac{1}{3})) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.11

Объединим $1331$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + \frac{1331}{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1 + 1331}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.13

Добавим $1$ и $1331$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1332}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14

Сократим общий множитель $1332$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $1332$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3 \cdot 444}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3 \cdot 444}{3 (1)} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{444}{1} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2.4

Разделим $444$ на $1$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot 444 - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.15

Умножим $444$ на $- 1$ .

$\frac{132}{5} - 444 (\frac{1}{5}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.16

Объединим $- 444$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{132}{5} + \frac{- 444}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{132}{5} - \frac{444}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{132 - 444}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.19

Вычтем $444$ из $132$ .

$\frac{- 312}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{312}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.21

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.22

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{121}{2})$

Этап 4.10.2.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{1 - 121}{2}$

Этап 4.10.2.4.24

Вычтем $121$ из $1$ .

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{- 120}{2})$

Этап 4.10.2.4.25

Сократим общий множитель $- 120$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.25.1

Вынесем множитель $2$ из $- 120$ .

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{2 \cdot - 60}{2}$

Этап 4.10.2.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{2 \cdot - 60}{2 (1)}$

Этап 4.10.2.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{2 \cdot - 60}{2 \cdot 1}$

Этап 4.10.2.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{- 60}{1})$

Этап 4.10.2.4.25.2.4

Разделим $- 60$ на $1$ .

$- \frac{312}{5} - 2 \cdot - 60$

Этап 4.10.2.4.26

Умножим $- 2$ на $- 60$ .

$- \frac{312}{5} + 120$

Этап 4.10.2.4.27

Чтобы записать $120$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{312}{5} + 120 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 4.10.2.4.28

Объединим $120$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{312}{5} + \frac{120 \cdot 5}{5}$

Этап 4.10.2.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 312 + 120 \cdot 5}{5}$

Этап 4.10.2.4.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.30.1

Умножим $120$ на $5$ .

$\frac{- 312 + 600}{5}$

Этап 4.10.2.4.30.2

Добавим $- 312$ и $600$ .

$\frac{288}{5}$

Этап 5