Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = 4 x + 5$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 4 x + 5$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = 4 x + 5$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x = 5$

Этап 1.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1 + y = 4 x + 5$

Этап 1.2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0 + y = 4 x + 5$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$y = 4 (5) + 5$

Этап 1.3.2

Упростим $4 (5) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $4$ на $5$ .

$y = 20 + 5$

Этап 1.3.2.2

Добавим $20$ и $5$ .

$y = 25$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = 4 (- 1) + 5$

Этап 1.4.2

Упростим $4 (- 1) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = - 4 + 5$

Этап 1.4.2.2

Добавим $- 4$ и $5$ .

$y = 1$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{5} 4 x + 5 d x - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{5} 4 x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Этап 3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 1}^{5} x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{5})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $- 1$ .

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $5 x$ в $5$ и в $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Этап 3.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{25 - 1}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4

Вычтем $1$ из $25$ .

$4 (\frac{24}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{12}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$4 \cdot 12 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.6

Умножим $4$ на $12$ .

$48 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.7

Умножим $5$ на $5$ .

$48 + 25 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.8

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$48 + 25 + 5 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.9

Добавим $25$ и $5$ .

$48 + 30 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.10

Добавим $48$ и $30$ .

$78 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.11

Возведем $5$ в степень $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3})$

Этап 3.10.2.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$78 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3})$

Этап 3.10.2.4.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Этап 3.10.2.4.15

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 3.10.2.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$78 - \frac{125 + 1}{3}$

Этап 3.10.2.4.17

Добавим $125$ и $1$ .

$78 - \frac{126}{3}$

Этап 3.10.2.4.18

Сократим общий множитель $126$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.18.1

Вынесем множитель $3$ из $126$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3}$

Этап 3.10.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Этап 3.10.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Этап 3.10.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$78 - \frac{42}{1}$

Этап 3.10.2.4.18.2.4

Разделим $42$ на $1$ .

$78 - 1 \cdot 42$

Этап 3.10.2.4.19

Умножим $- 1$ на $42$ .

$78 - 42$

Этап 3.10.2.4.20

Вычтем $42$ из $78$ .

$36$

Этап 4