Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + 3 = 6 x - 6$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

Этап 1.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

Этап 1.2.3

Добавим $3$ и $6$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 1.2.4.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Этап 1.2.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.6

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 6 (3) - 6$

Этап 1.3.2

Упростим $6 (3) - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $6$ на $3$ .

$y = 18 - 6$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $6$ из $18$ .

$y = 12$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 12)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

Этап 3.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

Этап 3.3

Добавим $3$ и $6$ .

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Этап 3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ и $9 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ в $2$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.4

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.5

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.7.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7.2

Добавим $8$ и $54$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.11

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.12

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.13

Объединим $- 9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.15.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.15.2

Вычтем $27$ из $- 1$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.18

Умножим $\frac{28}{3}$ на $1$ .

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.20

Добавим $62$ и $28$ .

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.21

Сократим общий множитель $90$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.21.1

Вынесем множитель $3$ из $90$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.21.2.4

Разделим $30$ на $1$ .

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.22

Возведем $2$ в степень $2$ .

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.23

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.23.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.23.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.24

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

Этап 3.10.2.3.25

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 3.10.2.3.26

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 3.10.2.3.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 3.10.2.3.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.28.1

Умножим $2$ на $2$ .

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

Этап 3.10.2.3.28.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

Этап 3.10.2.3.29

Объединим $- 6$ и $\frac{3}{2}$ .

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

Этап 3.10.2.3.30

Умножим $- 6$ на $3$ .

$30 + \frac{- 18}{2}$

Этап 3.10.2.3.31

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.31.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Этап 3.10.2.3.31.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.31.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Этап 3.10.2.3.31.2.2

Сократим общий множитель.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Этап 3.10.2.3.31.2.3

Перепишем это выражение.

$30 + \frac{- 9}{1}$

Этап 3.10.2.3.31.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$30 - 9$

Этап 3.10.2.3.32

Вычтем $9$ из $30$ .

$21$

Этап 4