Математический анализ Примеры

$y = - x^{2} + 9$ ; $0 \leq x \leq 5$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2

Решим $- x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 9$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Этап 1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 1.3

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 0)$

$(- 3, 0)$

$(3, 0)$

$(- 3, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{2} + 9 d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 9 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 9$ .

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 9 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 9 d x$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 9 d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 9 d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 9 d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 9 x]_{0}^{3}$

Этап 3.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 9 x]_{0}^{3}$

Этап 3.8.2

Найдем значение $9 x$ в $3$ и в $0$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (9 - \frac{0}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (9 - \frac{0}{1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (9 - 0) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (9 + 0) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.6

Добавим $9$ и $0$ .

$- 1 \cdot 9 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.7

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.8

Умножим $9$ на $3$ .

$- 9 + 27 - 9 \cdot 0$

Этап 3.8.3.9

Умножим $- 9$ на $0$ .

$- 9 + 27 + 0$

Этап 3.8.3.10

Добавим $27$ и $0$ .

$- 9 + 27$

Этап 3.8.3.11

Добавим $- 9$ и $27$ .

$18$

Этап 4

$A r e a = \int_{3}^{5} 0 d x - \int_{3}^{5} - x^{2} + 9 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $3$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{3}^{5} 0 - (- x^{2} + 9) d x$

Этап 5.2

Вычтем $- x^{2} + 9$ из $0$ .

$\int_{3}^{5} - (- x^{2} + 9) d x$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{3}^{5} x^{2} - 1 \cdot 9 d x$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\int_{3}^{5} x^{2} - 9 d x$

Этап 5.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{3}^{5} x^{2} d x + \int_{3}^{5} - 9 d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} - 9 d x$

Этап 5.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5} + - 9 x]_{3}^{5}$

Этап 5.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5}$ и $- 9 x]_{3}^{5}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 9 x]_{3}^{5}$

Этап 5.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$ в $5$ и в $3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - 9 \cdot 5) - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - 9 \cdot 5 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $125$ .

$\frac{125}{3} - 9 \cdot 5 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.3

Умножим $- 9$ на $5$ .

$\frac{125}{3} - 45 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.4

Чтобы записать $- 45$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} - 45 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.5

Объединим $- 45$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 45 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{125 - 45 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.7.1

Умножим $- 45$ на $3$ .

$\frac{125 - 135}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.7.2

Вычтем $135$ из $125$ .

$\frac{- 10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 27 - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{27}{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.11

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{10}{3} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{10}{3} - (\frac{9}{1} - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.11.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- \frac{10}{3} - (9 - 9 \cdot 3)$

Этап 5.8.2.2.12

Умножим $- 9$ на $3$ .

$- \frac{10}{3} - (9 - 27)$

Этап 5.8.2.2.13

Вычтем $27$ из $9$ .

$- \frac{10}{3} - - 18$

Этап 5.8.2.2.14

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$- \frac{10}{3} + 18$

Этап 5.8.2.2.15

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{10}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.8.2.2.16

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{10}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}$

Этап 5.8.2.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 10 + 18 \cdot 3}{3}$

Этап 5.8.2.2.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.18.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{- 10 + 54}{3}$

Этап 5.8.2.2.18.2

Добавим $- 10$ и $54$ .

$\frac{44}{3}$

Этап 6

Сложим площади $18 + \frac{44}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{44}{3}$

Этап 6.2

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} + \frac{44}{3}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{18 \cdot 3 + 44}{3}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{54 + 44}{3}$

Этап 6.4.2

Добавим $54$ и $44$ .

$\frac{98}{3}$

Этап 7