Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + 3$ ; $y = 0$ ; $0 \leq x \leq 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{3} + 3 = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{3} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 3$

Этап 1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Этап 1.2.3

Упростим $\sqrt[3]{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{3}$ в виде $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Этап 1.3

Подставим $- \sqrt[3]{3}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- \sqrt[3]{3}, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x^{3} + 3$ .

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} 3 d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} 3 d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + 3 x]_{0}^{2}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ и $3 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 3 x]_{0}^{2}$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4} + 3 x$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 3 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $16$ .

$\frac{16}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.3

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$4 + 6 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.5

Добавим $4$ и $6$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$10 - (0 + 3 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.8

Умножим $3$ на $0$ .

$10 - (0 + 0)$

Этап 3.6.2.2.9

Добавим $0$ и $0$ .

$10 - 0$

Этап 3.6.2.2.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$10 + 0$

Этап 3.6.2.2.11

Добавим $10$ и $0$ .

$10$

Этап 4