Математический анализ Примеры

$y = e^{- x}$ ; $[0, 5]$

Этап 1

Запишем $y = e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{- x}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 5]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

Этап 6

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

Этап 6.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$u_{upper} = - 5$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 5$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- ((e^{- 5}) - e^{0}))$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Этап 11.2

Добавим $5$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 1$

Этап 12.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{e^{5}}$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 1$

Этап 12.3

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5}$

Этап 13