Математический анализ Примеры

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 4]$

Этап 1

Запишем $y = e^{2 x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{2 x}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} e^{2 x} d x)$

Этап 6

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $4$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} e^{u} (\frac{1}{2}) d u)$

Этап 7

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{8} e^{u} d u)$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{8})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $e^{u}$ в $8$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot ((e^{8}) - e^{0}))$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1 \cdot 1))$

Этап 10.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{8}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Этап 11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{- 1}{2})$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 12.2

Добавим $4$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

Этап 13.2

Объединим.

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

Этап 14

Умножим $\frac{1}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 14.2

Умножим $4$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $e^{8}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Этап 15.2

Умножим $4$ на $2$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{8} - \frac{1}{8}$

Этап 16