Математический анализ Примеры

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

Этап 1

Запишем $y = 8 x (20 - x)$ в виде функции.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 20]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

Этап 6

Умножим $8 x (20 - x)$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $20$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

Этап 7.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Этап 7.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Этап 7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

Этап 7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $160$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $160$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Этап 12

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Этап 14.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $20$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Этап 14.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $20$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.2

Сократим общий множитель $400$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.2.2.4

Разделим $200$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.6

Добавим $200$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.7

Умножим $160$ на $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.8

Возведем $20$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 14.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 14.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 14.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 14.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 14.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

Этап 14.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

Этап 14.2.3.12

Добавим $\frac{8000}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

Этап 14.2.3.13

Объединим $- 8$ и $\frac{8000}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

Этап 14.2.3.14

Умножим $- 8$ на $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

Этап 14.2.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

Этап 14.2.3.16

Чтобы записать $32000$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

Этап 14.2.3.17

Объединим $32000$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

Этап 14.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

Этап 14.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.19.1

Умножим $32000$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

Этап 14.2.3.19.2

Вычтем $64000$ из $96000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

Этап 15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

Этап 15.2

Добавим $20$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

Этап 16

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем множитель $20$ из $32000$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

Этап 16.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

Этап 16.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

Этап 17