Математический анализ Примеры

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[3, 8]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[3, 8]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x (x - 1) d x)$

Этап 5

Умножим $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Этап 6.2

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Этап 6.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Этап 6.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - x d x)$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} d x + \int_{3}^{8} - x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} + \int_{3}^{8} - x d x)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - \int_{3}^{8} x d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{8}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $8$ и в $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $8$ и в $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 8^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $512$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 27 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.4

Умножим $27$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 27 (\frac{1}{3}) - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.5

Объединим $- 27$ и $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9}{1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.6.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.7

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.8

Объединим $- 9$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.10.2

Вычтем $27$ из $512$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.11

Возведем $8$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{64}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.12

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32}{1} - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.12.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{3^{2}}{2}))$

Этап 11.2.3.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{9}{2}))$

Этап 11.2.3.14

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}))$

Этап 11.2.3.15

Объединим $32$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}))$

Этап 11.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{32 \cdot 2 - 9}{2})$

Этап 11.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.17.1

Умножим $32$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{64 - 9}{2})$

Этап 11.2.3.17.2

Вычтем $9$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{55}{2})$

Этап 11.2.3.18

Чтобы записать $\frac{485}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2})$

Этап 11.2.3.19

Чтобы записать $- \frac{55}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 11.2.3.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.20.1

Умножим $\frac{485}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 11.2.3.20.2

Умножим $3$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 11.2.3.20.3

Умножим $\frac{55}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

Этап 11.2.3.20.4

Умножим $2$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{6})$

Этап 11.2.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2 - 55 \cdot 3}{6})$

Этап 11.2.3.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.22.1

Умножим $485$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 55 \cdot 3}{6})$

Этап 11.2.3.22.2

Умножим $- 55$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 165}{6})$

Этап 11.2.3.22.3

Вычтем $165$ из $970$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{805}{6})$

Этап 12

Вычтем $3$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{805}{6}$

Этап 13

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $5$ из $805$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (161)}{6}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 161}{6}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{161}{6}$

Этап 14