Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $x^{2} + 3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.8.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4

Перепишем $- (x^{2} - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $3$ из $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $7.46410157$ и $3$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $10.46410157$ в степень $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $4.46410157$ на $109.49742174$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.04076901$ .

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Этап 5.3

При $x = - 2.7320508$ производная имеет вид $- 0.04076901$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - \sqrt{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

Этап 6.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $\frac{1}{3}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ .

Возрастание в области $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\sqrt{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $3$ из $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $7.46410157$ и $3$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $10.46410157$ в степень $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $4.46410157$ на $109.49742174$ .

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.04076901$ .

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Этап 7.3

При $x = 2.7320508$ производная имеет вид $- 0.04076901$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{3}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Убывание на: $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

Этап 9