Математический анализ Примеры

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 4 \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.1.2.10

Объединим $- 4$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.12

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4

Каждый член в $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ умножим на $x^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Этап 2.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Этап 2.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 2^{2}$

Этап 2.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = 2^{2}$

Этап 2.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = 4$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $4$ .

$4$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Этап 4.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 4.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 4.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перепишем ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Этап 6.2.1.1.2

Найдем экспоненту.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Этап 6.2.1.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

Этап 6.2.1.2

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2}{i}$ на комплексно сопряженное $i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Этап 6.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Объединим.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Этап 6.2.1.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Этап 6.2.1.3.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

Этап 6.2.1.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

Этап 6.2.1.3.2.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

Этап 6.2.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

Этап 6.2.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (2 i)$ в виде $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Этап 6.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная равна $1 + 2 i$ . Поскольку это значение содержит мнимое число, функция не существует на $(- \infty, 0)$ .

Функция не является вещественной на $(- \infty, 0)$ , поскольку $f' (x)$ мнимое

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перенесем ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Этап 7.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 7.2.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 7.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 7.2.1.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

$- 0.41421356$

Этап 7.4

При $x = 2$ производная имеет вид $- 0.41421356$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 4)$ .

Убывание на $(0, 4)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2

Окончательный ответ: $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.3

Упростим.

$0.1055728$

Этап 8.4

При $x = 5$ производная имеет вид $0.1055728$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(4, \infty)$ .

Возрастание в области $(4, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(4, \infty)$

Убывание на: $(0, 4)$

Этап 10