Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 0} \frac{\sqrt{5 y + 25} - 5}{y}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{y \to 0} \sqrt{5 y + 25} - 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $0$ .

$\frac{lim_{y \to 0} \sqrt{5 y + 25} - lim_{y \to 0} 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{y \to 0} 5 y + 25} - lim_{y \to 0} 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{y \to 0} 5 y + lim_{y \to 0} 25} - lim_{y \to 0} 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{y \to 0} y + lim_{y \to 0} 25} - lim_{y \to 0} 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $y$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{y \to 0} y + 25} - lim_{y \to 0} 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.1.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $y$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{y \to 0} y + 25} - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $0$ для $y$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 25} - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 25} - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.3.1.2

Добавим $0$ и $25$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.3.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 0} y}$

Этап 1.3

Найдем предел $y$ , подставив значение $0$ для $y$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{y \to 0} \frac{\sqrt{5 y + 25} - 5}{y} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sqrt{5 y + 25} - 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sqrt{5 y + 25} - 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{5 y + 25} - 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\sqrt{5 y + 25}] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sqrt{5 y + 25}] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\sqrt{5 y + 25}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 y + 25}$ в виде ${(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [{(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ и $g (y) = 5 y + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 y + 25$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [5 y + 25] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [5 y + 25] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 y + 25$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [5 y + 25] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $5 y + 25$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [25]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [25]) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [25]) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [25]) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.6

Поскольку $25$ является константой относительно $y$ , производная $25$ относительно $y$ равна $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.12

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0) + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.13

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{{(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5 + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.15

Объединим $\frac{{(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $5$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{{(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.16

Перенесем $5$ влево от ${(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{5 \cdot {(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.17

Умножим $5$ на ${(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{5 {(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.3.18

Перенесем ${(5 y + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{5}{2 {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5$ относительно $y$ равна $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{5}{2 {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.5

Добавим $\frac{5}{2 {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{5}{2 {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d y} [y]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{5}{2 {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{y \to 0} \frac{5}{2 {(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 5

Перепишем ${(5 y + 25)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5 y + 25}$ .

$lim_{y \to 0} \frac{5}{2 \sqrt{5 y + 25}} \cdot 1$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{5}{2 \sqrt{5 y + 25}}$ на $1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{5}{2 \sqrt{5 y + 25}}$

Этап 6.2

Вынесем член $\frac{5}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{5}{2} lim_{y \to 0} \frac{1}{\sqrt{5 y + 25}}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{y \to 0} 1}{lim_{y \to 0} \sqrt{5 y + 25}}$

Этап 6.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $y$ к $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lim_{y \to 0} \sqrt{5 y + 25}}$

Этап 6.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{y \to 0} 5 y + 25}}$

Этап 6.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{y \to 0} 5 y + lim_{y \to 0} 25}}$

Этап 6.7

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{y \to 0} y + lim_{y \to 0} 25}}$

Этап 6.8

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $y$ к $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{y \to 0} y + 25}}$

Этап 7

Найдем предел $y$ , подставив значение $0$ для $y$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 0 + 25}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 25}}$

Этап 8.1.2

Добавим $0$ и $25$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 8.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 8.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$